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3.3軌跡規劃樣條函數

按照使用的軌跡規劃樣條函數次數分類，可以將軌跡規劃樣條函數分為一次、二次、三次、五次和多次。一次樣條函數軌跡規劃法又稱為速度常系數軌跡規劃法，該方法中速度作為常數，位置是時間的的一次線性函數，當速度突變時加速度無窮大，隨后加速度變為零，由于理論上無窮大的加速突變會對系統造成很大沖擊，因此，在機器人的軌跡規劃中，很少使用一次樣條函數。二次樣條函數軌跡規劃法又稱為常加速度軌跡規劃法。

使用二次樣條函數得到的單段軌跡規劃擬合曲線如圖3-2所示，圖中假設始末速度 v。，Vl均為0,從圖中可以看出，由該方法得到的擬合曲線的加速度是常數，擬合曲線相對于常速度軌跡規劃法有較大的改善，但存在加速度的跳躍現象，在加速度跳躍處，加加速度無窮大，對于機器人的高速運行仍會有較大影響，因此，二次樣條函數軌跡規劃法使用較少。

在三次樣條函數的軌跡規劃中，得到的擬合曲線的加速度是時間的一次函數，由于三次樣條函數軌跡規劃法簡單易懂、可控性好，因而被廣泛使用，三次樣條函數軌跡規劃數學模型如式（3-2)所示。

使用三次樣條函數得到的單段軌跡規劃擬合曲線如圖3-3所示，圖(G)中假設始末速度v。，&均為0，圖⑷中假設始末速度v。，k分別為10、5，從圖中可以看出由該方法得到的擬合曲線的加速度是時間的一次函數，擬合曲線相對于常加速度軌跡規劃法有較大改善。

利用三次樣條函數對通過多個空間關鍵點的多段軌跡進行軌跡規劃時，需要根據空間中的關鍵點對其進行分段，再對相鄰兩關鍵點進行相應的軌跡規劃，為了使動作連貫，軌跡規劃中需要對關鍵點處的速度進行賦值，從而，使機器人以一定的速度和加速度通過中間關鍵點。為了對這一類的含有多個空間關鍵點的多段運動的三次樣條函數軌跡規劃曲線進行說明，在空間中選取4個關鍵點，得到的擬合曲線如圖3-4所示，從圖中可以看出，由三次樣條函數軌跡規劃法得到的位移擬合曲線連續可導，速度擬合曲線連續但不可導，加速度擬合曲線出現跳躍，在加速度跳躍處加加速度無窮大，對于機器人的高速運行仍會有一些影響。

由以上分析可知，一次樣條函數中速度是常數，二次樣條函數中加速度是常數，三次樣條函數中加加速度是常數，為了克服三次樣條函數軌跡規劃結果加速度不連續的缺點，提高樣條函數的次數，使用五次樣條函數軌跡規劃法進行軌跡規劃。

知條件與單段三次樣條函數軌跡規劃己知條件相同。由該方法得到的擬合曲線的加加速度的一階導數是時間的一次函數，加速度、加加速度擬合曲線均連續可導，擬合曲線相對于三次樣條函數軌跡規劃法有較大的改善。

同三次樣條函數的多段軌跡規劃類似，五次樣條函數對通過多個空間關鍵點的多段軌跡進行軌跡規劃時，需要根據空間中的關鍵點對其進行分段，再對相鄰兩關鍵點進行相應的軌跡規劃，并且，在軌跡規劃過程中，需要對關鍵點處的參數進行賦值以使動作連貫，這樣機器人就會以一定的運動學參數順利通過中間關鍵點。為了對這一類的含有多個空間關鍵點的多段運動的五次樣條函數軌跡規劃擬合曲線進行說明，同樣，在空間中選取4個關鍵點，設置的己知參數與多段三次樣條函數軌跡規劃相同，得到的軌跡規劃擬合曲線如圖3-6所示，從圖中可以看出，五次樣條函數得到的位移曲線連續可導, 速度曲線連續但不可導，加速度曲線出現跳躍，在加速度跳躍處加加速度較大。

由以上可知，隨著樣條函數次數的提高，軌跡規劃得到的擬合曲線的控制性能也不斷提高，但比較遺憾的是并不是插值次數越高越好，在高次插值中會出現龍格現象，即次數越高，在插值區間的邊界區域會出現插值函數與原函數誤差迅速增大、波動增加的現象，龍格現象會導致機器人軌跡規劃擬合曲線不精確、波動，擬合性差以及能耗大等一系列缺點。并且，樣條函數次數越高，現象越明顯，龍格現象如圖3-7所示，分別為 3、5、7、9、11、13次樣條函數擬合曲線，其中黑色曲線為原函數曲線，紅色曲線為插值函數曲線。為了避免龍格現象，需要對樣條函數的插值點進行調整，采用切比雪夫零點插值可以避免龍格現象。

對多段運動的三次、五次樣條函數軌跡規劃擬合曲線進行類比可知，利用該類方法進行多次樣條函數的軌跡規劃，得到的在關鍵點處的位移擬合曲線均連續可導、速度擬合曲線均連續不可導，加速度等擬合曲線出現跳躍。在加速度跳躍處會出現驅動力或力矩的突變，突變的力或力矩作為激勵可能會引起機構的震動，甚至共振，即使對樣條函數采用切比雪夫零點插值也會出現以上現象。為了解決上述問題，在下面的小節中，將會采用新的軌跡規劃計算方法，使用五次樣條函數對機器人進行軌跡規劃，以得到連續可導的位移、速度、加速度甚至加加速度擬合曲線，并將動力學加入到軌跡規劃中，當機器人的幾何實體確定后，這將會減小所需驅動電機的力矩和功率或末端執行器的作用力，極大地提尚機器人的性能，對局速并聯機器人的控制具有極大實際意義。

本文采摘自“高速并聯工業機械手臂分析設計與實現”，因為編輯困難導致有些函數、表格、圖片、內容無法顯示，有需要者可以在網絡中查找相關文章！本文由伯特利數控整理發表文章均來自網絡僅供學習參考，轉載請注明！

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